函数的更大值和最小值在实际生活中有广泛的应用，例如取得收益的更大值，成本的最小值，通常借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值(或值域)，利用函数的最值解决有关的实际应用问题.

函数的最值

1.定义

若函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的增(或减)函数,这个函数有最值吗?如果是区间(a,b)呢?

若y=f(x)是定义在区间[a,b]上是增函数,则其最小值为f(a),更大值为f(b)若为减函数,更大值为f(a),最小值为f(b).若为区间(a,b),则没有最值,但可以说值域为(f(a),f(b))(或f(b),f(a)).

2.函数的更大值和最小值统称为最值.

知识点解析

函数的最值和值域的联系与区别

1.联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域.

2.区别:

(1)函数的值域一定存在,而函数的更大(小)值不一定存在

(2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素

(3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值.

利用函数的单调性求最值

函数的最值与单调性的关系

(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),更大(小)值是f(b).

(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),在区间(b,c]上单调递减(或单调递增),则f(x)在区间[a,c]上的更大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.

(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.

(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有更大(小)值.

与最值有关的应用问题

1.建立二次函数模型,应利用配 *** 求函数的最值.

2.解函数应用题的一般程序是:

(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.

(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.

(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.

(4)还原.将用数学 *** 得到的还原为实际问题的结论.

(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.

利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值

1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:

(1)对称轴在所给区间的右侧(2)对称轴在所给区间的左侧(3)对称轴在所给区间内.

2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论: