在当下负利率的整体环境下，很多银行里的金融工程从业人员都在面临一个略显尴尬的问题：我们的教科书里所谓的经典利率模型，通常都有一个最基本的假设，就是利率绝不可能为负值。如果有记性好一些的读者，应该还会记得在经典的期权定价教科书里，都会讲Hull White模型的一个基本缺点就是利率有可能为负（打脸有没有）。
2013年以来，随着欧洲主要经济体先后进入负利率时代，各家银行都开始重新审视自己的各种利率模型，并且逐渐抛弃了利率绝不可能为负的这一假说，开始逐渐接受主要经济体的利率（尤其是短期利率）有可能长期为负这一事实。本文试图简单介绍一下目前比较主流的几种负利率模型的选择，以及各自的优缺点。这篇文章主要的目的是给在读的或者希望做金融工程方面论文的研究生朋友们一个参考。
一：正态分布模型 (Gaussian Model）
经典的Black 76模型假设利率服从Log Normal分布，而Gaussian Model假设利率服从Gaussian distribution （正态分布）。所以此类模型能够非常好的与负利率的事实兼容。Gaussian 模型在利率模型界的应用甚至早于Black 76模型，但在70年代众多实证结果证明历史上观测到的利率并不符合正态分布假设，因此此类模型逐渐退出市场前沿。而Black模型逐渐占据了主导位置。在负利率出现以后，由于正态分布模型对于很多简单利率衍生品有现成的解析解可以使用，因此很多交易员开始重新使用正态模型来报价。如果我们现在到彭博终端去看利率波动率曲线，我们可以发现很多隐含利率波动率曲线都是以正态分布来定价的（负利率出现以前，基本都是以Black 模型为基准）。
但是正态分布模型有个显著的缺点，就是他假设负利率没有下限，因此理论上如果模拟时间足够长，你可以得到诸如-30%的负利率的情况。尽管-30%的负利率也不是没有可能，不过还是超出了大部分金融从业者目前的想象空间 （坐等打脸）。
所以总结一下正态模型的优缺点。
优点：
1）具备对很多线性产品的解析解。
2）易于实施，并且是事实上市场的报价基准。
缺点
1）很难从实证上证明，利率真的服从正态分布。
2）假设利率没有下限，不适合用于诸如CVA等需要进行长时间模拟的计算。
二：Shifted lognormal
这个模型是很多quant所崇尚的简单粗暴美学的最好注释。这个模型的灵感来自于经典的Black模型，不是说Black模型假设利率服从Lognormal分布就不能预测出负利率不好嘛？那我就在公式上做点手脚，使得模型不是假设利率r服从lognormal分布，而是假设一个新的变量r' = r + s 服从lognormal分布（s是一个常数）。这样的话，r不就可以变成负的么。
当时我看到这个模型的时候，我的内心是崩溃的。不过仔细想想，这个模型确实好处很多，首先，银行里面各种模型的代码很容易修改，其次，也很容易在这个新的模型下面导出利率衍生品的解析解，最后也是最重要的，这个模型预测出的利率是有下限的，而且下限决定于quant自己，也就是那个常数s！
不过问题也就来了，常数s怎么校准呢。就算你才高八斗，上知天文下知地理，也没法拍着胸脯说我就知道未来三十年，欧元区的利率不会跌破-2%。这连德拉吉也不知道啊！
所以这个模型的优缺点如下：
优点：
1）具备对很多线性产品的解析解。
2）易于实施
缺点：
1）利率下限的具体取值很难校准。
此类模型有很多变种，诸如你可以不仅shift black模型，也可以shift 更复杂的利率模型诸如CEV，LMM 以及 SABR 模型。但是都无法克服一个关键性的问题，利率下限如何校准。
三：其他
当然也有其他模型可供选择，比如Hull White模型，原先的缺点变成了现在的优点。另外最近有paper在讨论在低利率环境下可以直接对零息贴现率进行建模，以及有quant提出free boundary SABR model[2]。但都还没成为真正的主流并且据我所知，仅仅停留在业界讨论的基础上。
[1]Damiano Brigo, Interest Rate Models: Paradigm shifts in recent years
[2] Antonov, Alexandre and Konikov, Michael and Spector, Michael, The Free Boundary SABR: Natural Extension to Negative Rates (January 28, 2015). Available at
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